ふみのみさん、こんにちは。ご実家のご両親のこと、離れて暮らされているだけにご心配ですね。
精神科とカウンセリングの違いですが、精神科は医師による診察、治療を行いますが、カウンセリングの場合は、カウンセラーが医師免許を持っていない場合、悩み相談をすることはできますが、薬の処方などはお願いできないということです。医師がカウンセリングをする場合は、カウンセリングと治療投薬を同じ病院でしてもらえますが。もし、お父様ご自身に「いらいらする」という自覚があるようでしたら、悩みなどをカウンセラーに聞いてもらうカウンセリングで改善するかもしれません。
ですが、若干のうつ（気分障害）である可能性もあるので、とりあえずは精神科の受診をお勧めします。そこで異常がみられなければ、カウンセリングに通われてみてはいかがでしょうか。
もし気分障害や認知症の症状ならば、介護保険を申請して、ショートステイなどを利用すれば、お母様の休息が若干でも取れるようになるかもしれません。