巳欄さん、はじめまして。叔母さまのご容態はいかがでしょうか。さぞやご心痛のこととお察しします。
今回のような場合、確かに何をどう進めればいいのか、迷われてしまいますよね。しかし、何はともあれ、まずは現住所の介護保険担当者にご相談して下さい。
ただし、叔母さまが動けない状態でも、認定調査自体は、保険者（市町村）から他府県に依頼して行うことが可能です。例えば叔母さまの入院先にケアマネがいれば、その事業所などに認定調査を委託する事が出来ます。
ちなみに認定の時期については、病状が安定されてからのほうがいいかと思います。
認定を早くしすぎると、状態が変わってしまったり、退院よりかなり早く認定が出たために有効期間が少ない、などの事態が起こりえます。
申請の時期も含めて、現住所地の介護担当係や入院先のケアマネさんなどに相談されると良いと思います。
主治医の先生に見通しを確認し、その結果に沿って対応なさるといいのではないでしょうか。
また、施設を探したいとの事。本来は入院されている病院の医療相談員などに相談するのですが、遠隔地の施設については、相談員さんも的確に援助することが難しいと思います。介護保険の申請に合わせて役所や地域包括支援センターなどに相談されるのがよいと思います。いろいろ大変かとは思いますが、一つ一つクリアしていってください。