文章からだけの読み取りなので、見当違いならごめんなさい。
お父様はお母様が認知症ということを理解し、受け入れられていますか？
掃除・洗濯なんて翌日でも問題ないでしょうし、昼ご飯くらい買ってくればいい（宅配サービスなどもあり）話ですので、
発言内容を見ると、それよりも、認知症であることを理解していないか認めたくない状態であることが考えられます。

私が考える対策としては
①認知症の種類にもよりますが、今何か手を打たないとそれこそご飯や掃除ができなくなってしまいます。
認知症が進むとどうなるかを説明し、自分のご飯や洗濯の為に大事な妻の認知症が進行しても良いのか？と説得する。

②半日のデイサービスを検討する。
入浴がない場合が多いですが、ご自分で入浴できているなら、選択のひとつに考えてもよいでしょう。
これなら、食事作り・掃除・洗濯も可能です。

Phooさん、はじめまして。ご両親のことでいろいろお心を痛めていることと思いますが、きっと解決法はあると思いますので、どうか前向きでいてくださいね。
お父様は昔気質の方ということで、家事は妻の仕事、自分より長時間外出すべきではない、などの思いがあるのでしょうね。しかも、現在のお母様の状況を把握していない、またはお母様が認知症になったということを認めたくないのかもしれません。
デイへの通所は、お母様の状況を悪くしないためのものなのですから、まずは、お父様に現在のお母様の状況についてどう思っているか、聞いてみてはいかがでしょうか。
もし、Phooさんのお話には耳を貸そうともしない、というようなら、お医者や役所の方（介護担当の方）など、お父様から権威があると思われている方にお話をしていただくといいかもしれません。もしかするとケアマネさんも男性のほうがいうことを聞いてくれるかもしれません。
あとは、もしお父様が要支援などの判定をうけているなら、通所の日は家事代行のヘルパーさんに来ていただくなどもできると思います。また、Phooさんたちの負担が増えてしまいますが、お子さんたちで持ち回りで通所の日のお父様の面倒を見る、などでしょうか。本当は、お父様がお母様がいないことに慣れて、ご自分である程度のことができるようになるのが望ましいのですが、とりあえず、当面は通所に反対する理由をなくし、通所に納得していただくのが先決かもしれません。
いろいろご苦労もあるかと思いますが、めげないでくださいね。応援しています。