ふろあさん、はじめまして。知人の方のこと、ご心配ですよね。でも、ご安心ください。なぜ「要介護１」を理由に役所に断られたのかが謎ですが、もちろん、方法はあります。
要介護１は介護を必要としている状態であり、地域密着型サービスの施設すべてを利用することができますよ。
知人の方のお母様は、要介護１ということは、介護保険を利用されているはずですので、まず、担当のケアマネージャーさんに至急連絡をとり、状況を説明して、利用できるショートステイ先を探してもらってください。その際、必ず緊急を要する旨をケアマネさんに伝えることです。
ほとんどのショートステイ施設では、緊急用の空きを確保してあるので、どこかしらは利用できるはずです。
万一、ケアマネさんも同じことを仰るようでしたら、市区町村の苦情窓口か、行政相談の窓口（弁護士さんなど）にご相談ください。
ちなみに、地域包括支援センターでは、日常的に、そうした施設に対する相談業務や苦情受付を行っています。