道元さん、はじめまして。
お母さまの住民票をそのままにして、道元さんのご自宅で介護することは可能です。実際に、お子様の家に長期滞在して介護サービスを受けている人はいます。
あわてて住民票を移す必要はないのではないかと思います。
要介護５であれば、介護保険サービスとしては、訪問看護や訪問入浴、ヘルパー、ショートステイなどをご利用にされることになると思います。介護用のベッドや床ずれ予防マットなどのレンタルも必要だと思います。今現在介護サービスを利用中であれば、担当のケアマネさんと相談し、その後、道元さん宅付近の指定居宅介護支援事業所のケアマネさんに変更して下さい。
保険者が違っても指定の事業所なら契約できるはずです。
また、必要なものとしては、要介護５であればベッド・車椅子などが必要になってきます。ベッドの上で寝ている時間が長いのであれば必然的に床づれの心配も出てきますから、ベッドに敷くマットレスも重要です。
いろいろ大変だとは思いますが、ケアマネさんと相談し、介護保険を上手に利用して、少しでも介護負担を軽くして、かつ、お母様にとって最適なケアを見つけて上げてください。