お母さまのご病気に加え、お父様のうつ症状と、ご心労が絶えないこととお察しします。

お父様の介護認定の申請は可能ですので、ご安心くださいね。ただ、お母さまの看病をしながら、介護認定の申請などを行うのは、顛さんさんが大変かとも思いますが、いかがでしょうか？
もし、ご兄妹やご親戚など、サポートを頼める方が近くにいらっしゃるようでしたら、無理せず、協力をお願いしてください。また、介護認定については、役場の福祉課やお父様がお住まいの地域の地域包括センターに問い合わせ、状況を説明して手続き等について、どんどん聞いてください。顛さんさんのような方をサポートするための介護保険制度なのですから、遠慮せず、どんどん活用してくださいね。