はじめまして。ぜひ、お母様に介護サービスを受けるよう、説得なさってください。それがもっともいい方法だと思います。介護認定は受けていらっしゃいますか？まだでしたら地域包括支援センターに相談し、認定を受けてはいかがでしょうか。
お母様は介護サービスについて偏見があるとのことですが、デイサービスだけでなく、訪問介護や訪問入浴などでも、お父様の負担を減らすことはできると思います。お母様にお父様の体調がとても悪いことを時間をかけて説明して納得していただければと思いますがいかがでしょうか。
今は、ご両親が二人だけのなかに閉じこもるような状態での介護が続いていると思われます。ぜひそこに娘さんであるすねちゃんさんのお力で新しい空気を入れて、地域の介護サービスとつながるようになさってみてください。お父様が少しでもお元気になられますように。

お母さんはパーキンソン病を発症されて10年とのことですね。病状は少しずつ進行されているのではないでしょうか。また今後認知症も発症する可能性もあります。お父さんについても、小脳梗塞を患っておられるということですから、今後進行したり、脳血管性障害などになることもあります。また現在お父さんは鬱症状とのことですが、脳梗塞の後遺症や認知症の症状でも鬱が発症することがあります。一度検査をされてみることをお勧めします。
いずれにしてもこのままお二人だけの生活では、いずれ限界が来ると思います。早めに医療、介護両面からの、専門スタッフによる支援体制を組まれることをお勧めします。